在課前預習的講義中，老師向大家介紹了著名的Monty Hall Problem，並以條件機率以及貝氏定理的角度詮釋了「資訊流入」前後的差別。
如果還是感到很confused，不妨到以下網站來模擬一下，自己玩玩看這個Monty Hall Problem！
當然，到了電腦實習課，我們應該要有能力自己寫出模擬的程式！畢竟上面的網站，其背後的程式是怎麼寫的，我們怎麼會知道呢，當然不能不求甚解啦！
首先我們來定義一個function
#Monty Hall (Original)
#把問題寫成換與不換為input，有沒有得到car為output的fcn
monty_hall = function(switch = logical()){
#randomly arrange the door
doors = c(1,2,3)
names(doors) = sample(c("goat", "car", "goat"))
prize_door = which(names(doors)=='car') #find the index of car
#Now Guess
guess = sample(doors, 1)
if(guess == prize_door){
revealed_door = sample(doors[doors != prize_door], 1) #randomly open one of the goat door
}else{
revealed_door = doors[doors != prize_door & doors != guess] #open the other goat door
}
#Show the return
if(switch){
switched_door = doors[doors != guess & doors != revealed_door]
return(prize_door == switched_door)
} else {
return(prize_door == guess)
}
}
程式碼解說
函式所需的引數是「換」或「不換」，因為我們好奇的是「在一扇背後沒有車的門被主持人打開後，我們選擇『換』後贏得車的機率是否會變高」，所以把「換／不換」這個選項提到最前面是沒有關係的。實際上，我們就是在比較：(1.) 堅持不換 及 (2.)無論如何堅持要換，兩種策略讓我們贏得車的機率有何差別。
程式的第一個部分是隨機分配對應獎項的門，接著隨機地猜一道門。到這裡都相當直觀，每一道門被指派為獎品是車的機率是均等的；我們選到車的機率也是均等的。
door是一個有名字的向量（named vector），我們可以很簡單地用中括號（[]）來取向量的子集合。這是R的原生結構，跟python裡的pandas很像。
接著是一些邏輯判斷，因為主持人所開啟的門會依據我們選的門背後是不是車而有變化。如果我們選到的門背後是車，那麼主持人在剩下的兩道門中隨機選擇打開一道：
if(guess == prize_door){
revealed_door = sample(doors[doors != prize_door], 1)
}
如果我們選到的門背後是山羊，那麼主持人只有剩下另一道山羊門可以打開：
else{
revealed_door = doors[doors != prize_door & doors != guess]
}
選擇完要不要換（也就是我們的input，或者說引數argument所決定的）以後，答案就呼之欲出了！
假設我們選擇換：
那麼這時選擇的門會是哪一道呢？不會是我們一開始選的那道，也不會是被主持人打開的那道，如此一來用R最基本的邏輯判斷寫法，就可以知道如何「篩選」出正確的門了：
if(switch){
switched_door = doors[doors != guess & doors != revealed_door]
return(prize_door == switched_door)
}
switched_door 表示決定換之後要選擇的門，這扇門必須從三扇門透過排除法得到。
guess 是我們最一開始隨機猜的那道門，所以最終選擇的門 switched_door 不會是它。revealed_door 則是主持人打開的門，我們也不能選它。我們利用取子集合的方式來「篩」doors 這個向量，它既然不是上述兩道門，所以取交集，以得到switched_door。最後把這道最終選擇之門跟藏有汽車的門比對即可輸出結果。
假設我們選擇不換：
那答案就很簡單了，只要把最一開始猜的 guess 跟藏有汽車的門比對即可輸出結果：
return(prize_door == guess)
看看模擬的結果如何
直接執行 monty_hall(T)或monty_hall(F) 就可以看到玩「一次」Monty Hall Problem的結果囉！輸出如果是1表示你得到車了，若是0則是沒有。
那麼現在只要執行非常多變以上兩種策略的結果，然後比較看看得到車的機率有沒有差別就可以了！
# 選擇換 mean(replicate(monty_hall(T), n = 10000)) # 選擇不換 mean(replicate(monty_hall(F), n = 10000))
視覺化
result = replicate(monty_hall(T), n = 10000)
barplot(c(sum(result), length(result)-sum(result)),
main = 'The frequence of winning the car in
Monty Hall Problem in 10000 rounds',
names.arg = c('Change', 'Do not change'),
ylim = c(0,10000))
結果是不是顯而易見呢？
拓展到n扇門的版本
事實上，要將這個程式碼改寫成n扇門的版本也相當容易！
monty_hall_n = function(switch = logical(), n){
#randomly arrange the door
doors = 1:n
names(doors) = sample(rep(c("goat", "car"), c(n-1,1)))
prize_door = which(names(doors)=='car') #find the index of car
#Now Guess
guess = sample(doors, 1)
if(guess == prize_door){
revealed_door = sample(doors[doors != prize_door], n-2) #randomly open one of the goat door
}else{
#revealed_door = sample(doors[doors != prize_door & doors != guess], n-2)
revealed_door = doors[!doors %in% c(prize_door, guess)] #open the other goat door
}
#Show the return
if(switch){
switched_door = doors[!doors %in% c(guess, revealed_door)]#'%in%' is value matching
return(prize_door == switched_door)
} else {
return(prize_door == guess)
}
}
請參考
更詳盡的程式碼文檔以及解說請參考：